\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{drs}
%\usepackage{fullpage}
%\usepackage[normalleading,normalsections]{savetrees}
\usepackage{url}

\begin{document}
\begin{center}
Discourse \\
0440949 Andreas van Cranenburgh \\
{\em Sun Mar  1 13:48:36 CET 2009} \\
onderdeel C verbeterd {\em Thu 11 Jun 2009 21:33:19 CEST}
\end{center}


\section*{C}

Voor een DRS, $K = <K_0, K_1>$, geldt:

\[ M \models K \textrm{ iff } \exists f (dom(f) = K_0)  \land \forall \varphi \in K_1 : M \models \varphi[f] \]

Als we dit invullen bij $K \Rightarrow K'$ krijgen we:

\[ M \models K \Rightarrow K' \textrm{ iff } 
	\exists f (dom(f) = K_0 \land 
	\forall \varphi \in K_1 : 
		M \models \varphi [ f ] ) \] 
	\[\Rightarrow 
		\exists g (dom(g) = K'_0 
		\land \forall \varphi \in K'_1 : M \models \varphi [ g ] \]

De implicatie kan herschreven worden tot conjunctie met negaties, want $ P \Rightarrow Q \equiv \neg (P \land \neg Q) $, dus:

\[  M \models K \Rightarrow K' \textrm{ iff } \neg (( \exists f (dom(f) = K_0 \land \forall \varphi \in K_1 : M \models \varphi [f])) \]
\[\land \neg ( \exists g (dom(g) \ K'_0 \land \forall \varphi \in K_1 : M \models \varphi [g] ))) \]

Verder is het zo dat:
\[ M \models K \land K' \textrm{ iff both } M \models K \textrm { and } M \models\hookleftarrow\hookleftarrow K' \]

%%Dit gebruiken we bij de vorige formule:
Deze twee stellingen kunnen samengevoegd worden:
%En als de conjunctie van twee DRSen geldt, dan geldt ook de {\em merge} hiervan: 

%(hier genoteerd als union, {\em slight abuse of notation}):

\[ M \models K \Rightarrow K' \textrm{ iff } M \models \neg ( K \cup \{  \neg K' \} ) \]

Q.E.D.

%OLD
%Stel we hebben:
%
%\drs{ }{K $\Rightarrow$ K'}
%
%En we willen dit herschrijven zonder implicatie. Dit kan als volgt:
%
%$K \Rightarrow K'$ is gelijk aan $\neg K \vee K'$ {\em (implicatie eliminatie)} \\
%$\neg K \vee K'$ kan herschreven worden als $\neg(K \wedge \neg K')$ {\em (de Morgan)}
%
%Het resultaat is:
%
%\drs{ }{\negdrs{ }{K, $\neg$ K'}}

\section*{D}
\subsection*{Iedere jongen die Maria mag geeft haar een cadeau}
Deze zin kan op twee manieren worden gelezen. De voor de hand liggende manier
is dat er voor elke jongen die Maria mag een cadeau is:

\drs{ }{ \drs{x}{jongen(x) \\ mag(x, maria)} $\Rightarrow$ \drs{y}{cadeau(y) \\ geeft(x, maria, y)}}

Maar het kan ook dat er een enkel, specifiek cadeau bedoelt wordt, dat samen
gegeven wordt:

\drs{ }{ \drs{x, y}{jongen(x) \\ mag(x, maria) \\ cadeau(y)} $\Rightarrow$ \drs{ }{geeft(x, maria, y)}}


\subsection*{Geen boer die een ezel heeft heeft geen paard}{ }{

%\drs{}
%{\negdrs{x, y}{boer(x) \\ ezel(y) \\ heeft(x, y)} 
%$\Rightarrow$
%\negdrs{z}{paard(z) \\ heeft(x, z)}}
%
%Het kan ook zonder implicatie:

\drs{ }
{\negdrs{ }{
\drs{x, y}{
boer(x) \\ 
ezel(y) \\ heeft(x, y)}
\negdrs{z}{paard(z) \\ heeft(x, z)}}}

\end{document}
